Kąt FCE w trójkącie – zadanie 4.144 ze zbioru Pazdro

W zbiorze kąty przy wierzchołkach $A$ i $B$ oznaczone są literami $\gamma$ i $\delta$, a teza brzmi $|\angle FCE| = \frac{\gamma+\delta}{2}$. Poniżej używam bardziej typowych oznaczeń: $\alpha = |\angle BAC|$, $\beta = |\angle ABC|$, $\gamma = |\angle ACB|$, więc udowodnimy, że $|\angle FCE| = \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Krok 1. Gdzie leżą punkty E i F?

Ponieważ $AB$ jest najdłuższym bokiem, mamy $|AC| < |AB|$ oraz $|BC| < |AB|$, więc oba punkty $F$ i $E$ rzeczywiście leżą na boku $AB$ (a nie na jego przedłużeniu).

Który z nich jest bliżej $A$? Punkt $F$ leży w odległości $|AC|$ od $A$, a punkt $E$ w odległości $|AB| - |BC|$ od $A$. Z nierówności trójkąta $|AC| + |BC| > |AB|$ dostajemy $|AC| > |AB| - |BC|$, czyli $|AF| > |AE|$. Zatem na boku $AB$ punkty leżą w kolejności $A,\ E,\ F,\ B$ – tak jak na rysunku. Ta obserwacja jest kluczowa, bo mówi, że kąt $\angle FCE$ leży wewnątrz obu kątów $\angle ACF$ i $\angle BCE$.

Krok 2. Dwa trójkąty równoramienne

Trójkąt $AFC$ jest równoramienny ($|AF| = |AC|$), więc kąty przy jego podstawie $FC$ są równe. Ich suma wraz z kątem $\alpha$ przy wierzchołku $A$ daje $180^\circ$:

$$|\angle ACF| = |\angle AFC| = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$$

Analogicznie trójkąt $BEC$ jest równoramienny ($|BE| = |BC|$), zatem:

$$|\angle BCE| = |\angle BEC| = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$$

Krok 3. Składanie kątów przy wierzchołku C

Z kolejności $A, E, F, B$ wynika, że półprosta $CE$ leży wewnątrz kąta $\angle ACF$, a półprosta $CF$ wewnątrz kąta $\angle BCE$. Oba kąty $\angle ACF$ i $\angle BCE$ zawierają więc kąt $\angle FCE$, a razem pokrywają cały kąt $\angle ACB = \gamma$ – przy czym część $\angle FCE$ liczona jest dwukrotnie:

$$|\angle ACF| + |\angle BCE| = \gamma + |\angle FCE|$$

Stąd:

$$|\angle FCE| = |\angle ACF| + |\angle BCE| - \gamma = \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) - \gamma = 180^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2} - \gamma$$

Krok 4. Suma kątów w trójkącie

W trójkącie $ABC$ mamy $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, czyli $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Podstawiamy:

$$|\angle FCE| = 180^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2} - 180^\circ + (\alpha+\beta) = \frac{\alpha+\beta}{2}$$

Sprawdzenie na przykładzie

Weźmy trójkąt o kątach $\alpha = 50^\circ$, $\beta = 60^\circ$, $\gamma = 70^\circ$ (najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta, więc faktycznie jest to $AB$). Wtedy $|\angle ACF| = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$, $|\angle BCE| = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$, a więc $|\angle FCE| = 65^\circ + 60^\circ - 70^\circ = 55^\circ = \frac{50^\circ + 60^\circ}{2}$. Zgadza się.