W tym artykule rozwiążemy klasyczny problem z analizy matematycznej: obliczenie objętości bryły ograniczonej dwiema powierzchniami obrotowymi. Zadanie to wymaga zastosowania całek potrójnych oraz przejścia na współrzędne walcowe.

Zadanie: Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami: $$z_1 = \frac{x^2 + y^2}{2} \quad \text{(paraboloida obrotowa)}$$ $$z_2 = \sqrt{x^2 + y^2} \quad \text{(stożek obrotowy)}$$

1. Wizualizacja problemu

Zanim przejdziemy do obliczeń, warto zobaczyć, jak wyglądają te powierzchnie w przestrzeni 3D. Paraboloida (niebieska) tworzy "misę" otwierającą się ku górze, natomiast stożek (czerwony) wychodzi z początku układu współrzędnych.

Interaktywny wykres: Możesz obracać, przybliżać i ukrywać warstwy klikając w przyciski powyżej.

2. Wyznaczenie obszaru całkowania

Aby obliczyć objętość, musimy znaleźć rzut bryły na płaszczyznę $XY$. W tym celu szukamy części wspólnej (przecięcia) obu powierzchni, przyrównując $z_1$ do $z_2$:

$$ \frac{x^2 + y^2}{2} = \sqrt{x^2 + y^2} $$

Przechodzimy na współrzędne walcowe, co znacznie uprości rachunki ze względu na symetrię obrotową obu brył:

$$ \begin{cases} x = r \cos \phi \\ y = r \sin \phi \\ z = z \end{cases} $$

Pamiętamy o jakobianie przekształcenia, który wynosi $J = r$.

Podstawiając $x^2 + y^2 = r^2$ do równań powierzchni:

  • Paraboloida: $z_1 = \frac{r^2}{2}$
  • Stożek: $z_2 = \sqrt{r^2} = r$ (zakładamy $r \ge 0$)

Teraz wyznaczamy promień przecięcia:

$$ \frac{r^2}{2} = r \implies r^2 = 2r \implies r(r - 2) = 0 $$

Stąd otrzymujemy rozwiązania $r=0$ oraz $r=2$. Oznacza to, że rzutem bryły na płaszczyznę $XY$ jest koło o promieniu $2$.

3. Granice całkowania

Na podstawie powyższych ustaleń możemy zapisać granice dla całki potrójnej w obszarze $V'$:

$$ V': \begin{cases} 0 \le \phi \le 2\pi & \text{(pełny obrót)} \\ 0 \le r \le 2 & \text{(promień podstawy)} \\ \frac{r^2}{2} \le z \le r & \text{(od paraboloidy do stożka)} \end{cases} $$

Zauważ, że dla $r \in (0, 2)$, funkcja $z=r$ (stożek) leży nad funkcją $z=r^2/2$ (paraboloida), dlatego $r$ jest górną granicą całkowania dla zmiennej $z$.

4. Obliczenie całki

Objętość bryły $|V|$ obliczamy ze wzoru:

$$ |V| = \iiint_V 1 \, dx \, dy \, dz = \iiint_{V'} r \, dr \, d\phi \, dz $$

Rozpisujemy na całki iterowane:

$$ |V| = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{2} \left( \int_{r^2/2}^{r} r \, dz \right) dr $$

Najpierw całkujemy po $z$ (traktując $r$ jako stałą):

$$ \int_{r^2/2}^{r} r \, dz = r \cdot [z]_{r^2/2}^{r} = r \left( r - \frac{r^2}{2} \right) = r^2 - \frac{r^3}{2} $$

Następnie całkujemy po $r$:

$$ \int_{0}^{2} \left( r^2 - \frac{r^3}{2} \right) dr = \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{8} \right]_{0}^{2} $$ $$ = \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^4}{8} \right) - 0 = \left( \frac{8}{3} - \frac{16}{8} \right) = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3} $$

Na koniec całkujemy po $\phi$:

$$ |V| = \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3} \, d\phi = \frac{2}{3} \cdot [\phi]_{0}^{2\pi} = \frac{2}{3} \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3} $$
Odpowiedź: Objętość bryły wynosi $\frac{4\pi}{3}$.