Treść zadania: Dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $$|x-1| = m+2$$ ma dwa rozwiązania $x_1, x_2$ tych samych znaków (czyli $x_1 x_2 > 0$)?

Krok 1. Warunek na istnienie dwóch rozwiązań

Niech $a = m+2$. Wówczas równanie ma postać $|x-1| = a$.

  • Jeśli $a < 0$, to równań postaci $|x-1|=a$ nie da się rozwiązać (brak rozwiązań).
  • Jeśli $a = 0$, to jest jedno rozwiązanie $x=1$.
  • Jeśli $a > 0$, to są dwa rozwiązania: $$x-1 = a \quad \text{lub} \quad x-1 = -a$$ czyli $$x_1 = 1+a, \qquad x_2 = 1-a$$

Zatem, aby były dwa rozwiązania, musi zachodzić:

$$a > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad m+2 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad m > -2$$

Krok 2. Warunek na te same znaki rozwiązań

Dla $a > 0$ mamy:

$$x_1 = 1+a > 0 \quad \text{(zawsze dodatnie, bo } a>0 \text{)}$$

natomiast znak $x_2 = 1-a$ zależy od $a$.

Aby rozwiązania miały ten sam znak, przy $x_1 > 0$ drugie rozwiązanie również musi być dodatnie:

$$x_2 > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1-a > 0 \quad \Longleftrightarrow \quad a < 1$$

Łączymy warunki na $a$:

$$0 < a < 1$$

Podstawiamy $a = m+2$:

$$0 < m+2 < 1$$

Odejmujemy $2$ stronami:

$$-2 < m < -1$$
Odpowiedź: Równanie $|x-1|=m+2$ ma dwa rozwiązania tych samych znaków wtedy i tylko wtedy, gdy: $$m \in (-2, -1)$$

Sposób 2. Interpretacja graficzna (wykres)

Rozważmy funkcję $f(x) = |x-1|$ (wykres główny) oraz prostą poziomą $y = m+2$. Równanie oznacza szukanie punktów przecięcia wykresu z tą prostą.

Na rysunku poniżej zaznaczono wykres $f(x)$ oraz przykładowe proste poziome (możesz je włączać i wyłączać za pomocą przycisków):

y = 2.0

Z wykresu widać, że:

  • dla $y = 0$ jest dokładnie jeden punkt przecięcia ($x=1$);
  • dla $y < 0$ nie ma punktów przecięcia;
  • dla $y = 1$ są dwa punkty przecięcia, ale odpowiadają im $x=0$ i $x=2$ (jedno rozwiązanie jest zerowe, drugie dodatnie);
  • dla $y = 2$ są dwa punkty przecięcia, dla $x=-1$ i $x=3$ (rozwiązania mają przeciwne znaki).

Natomiast dla poziomu (np.) $y = 0.4$ (czyli $m+2=0.4 \implies m=-1.6$) otrzymujemy dwa punkty przecięcia z wykresem $y=|x-1|$, które wyznaczają rozwiązania dodatnie $x_1$ i $x_2$:

$$x_1 = 1+0.4 = 1.4, \qquad x_2 = 1-0.4 = 0.6$$

Oba są dodatnie, więc mają ten sam znak, co jest zgodne z wynikiem algebraicznym. Zatem proste o równaniach $y=c$, gdzie $0 < c < 1$ przecinają wykres w dwóch punktach o dodatnich współrzędnych $x$.

$$0 < m+2 < 1 \implies -2 < m < -1$$