Ciągi Arytmetyczny i Geometryczny - Zadanie maturalne

Zadanie 15. (0-3)

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 3n + 5$ (ciąg arytmetyczny) dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$.
Trzywyrazowy ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$.

Wartości wyrazów ciągu

Oblicz wartości wyrazów ciągu – to podstawa. Podstaw odpowiednie $n$ do wzoru $a_n = 3n + 5$, aby poznać wartości, z którymi będziemy pracować.

$a_1$

$a_2$

$a_9$

$a_k$

Teoria – Własność ciągu geometrycznego

Co to właściwie oznacza, że ciąg jest geometryczny? Jaki wzór łączy trzy kolejne wyrazy $(x, y, z)$ takiego ciągu? Zaznacz poprawną odpowiedź.

$$y = \frac{x + z}{2}$$ $$y^2 = x \cdot z$$ $$y = x \cdot q$$ $$y = x + r$$

Złożenie elementów i finał

Widzimy już nasze elementy: $x = 8$, $y = 32$, $z = 3k + 5$.

Zastosuj poprawny wzór z poprzedniego kroku, układając równanie algebraiczne (bez liczenia, ułóż strukturę):

² = · ( )

Model Rozwiązania

Rozwiń pełen zapis matematyczny

Krok 1: Wyznaczenie wyrazów z definicji ciągu arytmetycznego:

$$a_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8$$

$$a_9 = 3 \cdot 9 + 5 = 32$$

$$a_k = 3k + 5$$

Krok 2: Zastosowanie fundamentalnej własności ciągu geometrycznego, gdzie kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych:

$$a_9^2 = a_1 \cdot a_k$$

$$32^2 = 8 \cdot (3k + 5)$$

Krok 3: Rozwiązanie równania liniowego z jedną niewiadomą:

$$1024 = 24k + 40$$

$$984 = 24k \quad \Big| : 24$$

$$k = 41$$

Odpowiedź: Szukany indeks wynosi $k = 41$.

Matematyczna Podróż w Czasie

Od bochenków chleba do Królików Pizy

Pojęcie ciągu wędruje z nami niemal od początków cywilizacji. Jednym z najstarszych zachowanych tekstów matematycznych jest Papirus Rhinda (ok. 1550 r. p.n.e.), w którym starożytny egipski skryba Ahmes rozwiązuje problem podziału 100 bochenków chleba między 5 mężczyzn w taki sposób, aby ich przydziały tworzyły ciąg arytmetyczny.