Kąty dwuścienne w ostrosłupie prostym – zadanie 5.83

W tym zadaniu wyznaczymy kąty nachylenia dwóch ścian bocznych ostrosłupa prostego do jego podstawy. Najważniejsze będzie poprawne znalezienie spodka wysokości, skonstruowanie kąta liniowego kąta dwuściennego oraz zastosowanie twierdzenia o trzech prostych prostopadłych.

Treść zadania 5.83

Na podstawie: Matematyka 4. Zbiór zadań do liceów i techników, Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab, Elżbieta Świda.

Odpowiedź w skrócie

• dla ściany $ACS$: $\tan\alpha=3$
• dla ściany $BCS$: $\tan\beta=4$
• dodatkowo ściana $ABS$ jest prostopadła do podstawy, więc tworzy z nią kąt $90^\circ$

Interaktywny model 3D

Najpierw obejrzyj rysunek,uruchom Geogebrę, a jeśli chcesz swobodnie obracaj bryłę. Zwróć uwagę na spodek wysokości $M$, odcinki $MF$ i $ME$ oraz kąty utworzone przy krawędziach podstawy. GeoGebra zostanie pobrana dopiero po naciśnięciu przycisku.

Uruchom interaktywny model 3D

Gdzie leży spodek wysokości ostrosłupa prostego?

Ostrosłup jest prosty
$\Longleftrightarrow$ spodek jego wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie
$\Longleftrightarrow$ wszystkie jego krawędzie boczne mają jednakową długość
$\Longleftrightarrow$ wszystkie jego krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod jednakowym kątem.

Podstawą naszego ostrosłupa jest trójkąt prostokątny $ABC$. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku jego przeciwprostokątnej $AB$. Oznaczmy go literą $M$. Punkt $M$ jest zatem spodkiem wysokości ostrosłupa, a $SM\perp(ABC)$. Zapis $(ABC)$ oznacza płaszczyznę wyznaczoną przez punkty $A$, $B$ i $C$, czyli płaszczyznę zawierającą trójkąt podstawy.

Dowód równoważności tych własności znajdziesz w powiązanym artykule: Gdzie leży spodek wysokości ostrosłupa prostego?

Jak zaznaczyć kąt dwuścienny?

Kąt dwuścienny jest figurą przestrzenną wyznaczoną przez dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi. W zadaniach szkolnych spotkasz również określenie „kąt między ścianami”. Aby obliczyć jego miarę, wybieramy punkt na wspólnej krawędzi obu płaszczyzn. Następnie w każdej z tych płaszczyzn prowadzimy z tego punktu półprostą prostopadłą do wspólnej krawędzi. Kąt między tymi półprostymi jest kątem liniowym kąta dwuściennego, a jego miara jest równa mierze kąta dwuściennego.

1. Znajdź spodek wysokości ostrosłupa. W tym zadaniu jest nim punkt $M$ — środek przeciwprostokątnej $AB$.
2. W podstawie poprowadź z $M$ odcinek prostopadły do badanej krawędzi, np. $MF\perp AC$.
3. Połącz punkt $F$ z wierzchołkiem $S$. Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych otrzymasz $SF\perp AC$.
4. W trójkącie prostokątnym $SMF$ oblicz tangens kąta przy $F$ jako stosunek wysokości $SM$ do odległości $MF$.

Dla ściany $ACS$ prowadzimy $MF\perp AC$. Odcinek $MF$ jest rzutem prostokątnym odcinka $SF$ na płaszczyznę podstawy. Ponieważ $MF\perp AC$, z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych wynika, że również $SF\perp AC$. Kąt $\sphericalangle SFM$ jest więc kątem liniowym kąta dwuściennego między ścianą $ACS$ a podstawą. Jego miara jest miarą kąta między tymi ścianami.

Obliczenia dla poszczególnych ścian

Z twierdzenia Pitagorasa:

$$|AB|=\sqrt{|AC|^2+|BC|^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$

Punkt $M$ jest środkiem przeciwprostokątnej $AB$.

1. Ściana $ACS$: $\tan\alpha=3$

Z punktu $M$ prowadzimy odcinek $MF\perp AC$. Ponieważ $M$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$, prostopadła $MF$ dzieli cięciwę $AC$ na połowy. Punkt $F$ jest więc środkiem boku $AC$.

Odcinek $MF$ łączy środki boków $AB$ i $AC$ trójkąta $ABC$, dlatego jest jego linią środkową:

$$MF\parallel BC \qquad\text{oraz}\qquad |MF|=\frac{|BC|}{2}=4.$$

W trójkącie prostokątnym $SMF$ kąt $\alpha=\sphericalangle SFM$, więc:

$$\tan\alpha=\frac{|SM|}{|MF|}=\frac{12}{4}=3.$$

2. Ściana $BCS$: $\tan\beta=4$

Niech $E$ będzie spodkiem prostopadłej poprowadzonej z $M$ do krawędzi $BC$. Analogicznie jak wcześniej punkt $E$ jest środkiem boku $BC$, a odcinek $ME$ jest linią środkową trójkąta $ABC$:

$$ME\parallel AC \qquad\text{oraz}\qquad |ME|=\frac{|AC|}{2}=3.$$

Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych $SE\perp BC$. Kąt $\beta=\sphericalangle SEM$ jest kątem nachylenia ściany $BCS$ do podstawy. Zatem:

$$\tan\beta=\frac{|SM|}{|ME|}=\frac{12}{3}=4.$$

3. Dodatkowa obserwacja: ściana $ABS$

Polecenie nie wymaga obliczania kąta dla tej ściany, ale jej położenie warto zauważyć. Punkt $M$ leży na przeciwprostokątnej $AB$, a odcinek $SM$ należy do płaszczyzny zawierającej trójkątną ścianę $ABS$ i jest prostopadły do całej płaszczyzny podstawy. Dlatego płaszczyzny zawierające ściany $ABS$ i $ABC$ są prostopadłe:

$$(ABS)\perp(ABC), \qquad \gamma=90^\circ.$$

Same ściany możemy oczywiście traktować jako trójkąty leżące w przestrzeni. Zapis prostopadłości dotyczy jednak płaszczyzn, w których te trójkąty leżą, dlatego używamy oznaczeń $(ABS)$ i $(ABC)$, a nie $\triangle ABS$ i $\triangle ABC$.

Tangens kąta $90^\circ$ nie jest określony. Ten przypadek wyjaśnia również, dlaczego we wzorze ogólnym trzeba założyć, że odległość spodka wysokości od badanej krawędzi jest dodatnia.

Najczęstsze błędy

• Zaznaczenie kąta przy wierzchołku $S$. Miarę kąta między ścianą a podstawą odczytujemy z kąta liniowego skonstruowanego przy wspólnej krawędzi płaszczyzn, np. z $\sphericalangle SFM$.
• Użycie dowolnych odcinków w obu płaszczyznach. Oba ramiona kąta liniowego muszą być prostopadłe do tej samej wspólnej krawędzi.
• Pominięcie rzutu. Odcinek $MF$ jest rzutem $SF$ na podstawę — właśnie to pozwala zastosować twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.
• Pomylenie kąta nachylenia ściany z kątem nachylenia krawędzi bocznej. Są to różne kąty i zazwyczaj otrzymujemy je z różnych trójkątów prostokątnych.

Podsumowanie

Spodek wysokości ostrosłupa leży w środku przeciwprostokątnej $AB$. Dla ściany $ACS$ odległość spodka wysokości od krawędzi $AC$ wynosi $4$, dlatego $\tan\alpha=3$. Dla ściany $BCS$ analogiczna odległość od $BC$ wynosi $3$, dlatego $\tan\beta=4$. Kluczowa zasada brzmi: kąt nachylenia ściany do podstawy odczytujemy w przekroju prostopadłym do ich wspólnej krawędzi.

Zrozumieć zamiast wkuwać

Nie widzisz kąta w bryle? Podczas bezpłatnej 30-minutowej lekcji próbnej pokażę Ci, jak rozkładać zadania ze stereometrii na proste trójkąty i zależności.

Umów bezpłatną lekcję próbną

150 zł / 60 minut • lekcje online • poniedziałek–sobota