Kąty dwuścienne w ostrosłupie prostym | Matematyka rozszerzona

Stereometria na poziomie rozszerzonym często sprowadza się nie tyle do biegłości rachunkowej, ale przede wszystkim do wyobraźni i poprawnego rozumienia pojęć – bez względu na to, czy badamy kąty, czy interesuje nas objętość figury, pole powierzchni czy długość odcinka. Dziś weźmiemy na warsztat klasyczne zadanie z ostrosłupem prostym i precyzyjnie wyjaśnimy, jak poprawnie lokalizować i obliczać kąty dwuścienne.

Zadanie 5.83 z "Matematyka 4. Zbiór Zadań do liceów i techników" Marcin Kurczab Elżbieta Kurczab Elżbieta Świda

Interaktywny Model 3D

Zanim przejdziemy do obliczeń, obejrzyj poniższy model. Możesz go swobodnie obracać, przybliżać i oddalać. Zwróć uwagę na to, gdzie opada wysokość bryły $SM$ i jak tworzą się kąty między ścianami.

Jaki ostrosłup nazywamy prostym i gdzie leży spodek jego wysokości?

Kluczem do zadania jest pojęcie ostrosłupa prostego. W geometrii istnieją trzy warunki równoważne, które definiują tę bryłę. Oznacza to, że jeśli spełniony jest którykolwiek z nich, automatycznie zachodzą dwa pozostałe:

• Wszystkie krawędzie boczne są równej długości.
• Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie.
• Wszystkie krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

Zastanawiasz się, jak udowodnić tę równoważności? Kluczem do takich dowodów stereometrycznych jest umiejętne wyłapywanie zależności między trójkątami prostokątnymi ukrytymi wewnątrz bryły. Zobacz, jak przeprowadzić takie dowody, w artykule Gdzie leży spodek wysokości ostrosłupa prostego?.

W geometrii analitycznej i zadaniach stereometrycznych najpotężniejszą własnością jest powiązanie pozycji wierzchołka z podstawą. W podstawie ostrosłupa znajduje się trójkąt prostokątny. Z kolei środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym zawsze znajduje się dokładnie w środku jego przeciwprostokątnej . Nazwijmy ten punkt $M$. To właśnie w punkcie $M$ ląduje wysokość całego ostrosłupa (odcinek $SM$).

Kąty dwuścienne - Twierdzenie o trzech prostych

Aby wyznaczyć kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy ostrosłupa (kąt dwuścienny), musimy poprowadzić dwa odcinki prostopadłe do wspólnej krawędzi, które spotkają się w jednym punkcie.

Możemy podejść do tego bardzo analitycznie. Spodek wysokości ostrosłupa ($M$) to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta $ABC$. Poprowadź z punktu $M$ odcinek prostopadły do krawędzi $AC$ w trójkącie $ABC$. Ten odcinek (nazwijmy go $MF$) pokrywa się z symetralną boku $AC$ w trójkącie $ABC$, co oznacza, że punkt $F$ jest dokładnie środkiem krawędzi $AC$. Z kolei punkt $F$ jest wysokością ściany bocznej $ACS$ (ściana $ACS$ jest bowiem trójkątem równoramiennym). Pomiędzy odcinkiem $MF$, a odcinkiem $SF$ powstaje kąt dwuścienny $\sphericalangle SFM$.

Do problemu lokalizacji kąta dwuściennego można podejść od innej strony, wykorzystując potężne narzędzie, jakim jest twierdzenie o trzech prostych prostopadłych. Zamiast szukać wysokości ściany bocznej w przestrzeni trójwymiarowej, zauważmy, że odcinek $MF$ leży w płaszczyźnie podstawy i z racji swojej konstrukcji jest prostopadły do krawędzi $AC$. Ponieważ jest on rzutem odcinka $SF$, wspomniane twierdzenie gwarantuje nam, że wysokość ściany bocznej ($SF$) również opada na krawędź $AC$ pod kątem prostym, dokładnie w punkcie $F$. Ramionami naszego kąta dwuściennego są zatem odcinki $SF$ i $MF$, a szukana miara to kąt $\sphericalangle SFM$.

Obliczenia

Przyjmijmy przyprostokątne: $|BC| = 8$ oraz $|AC| = 6$. Z twierdzenia Pitagorasa długość przeciwprostokątnej wynosi $|AB| = 10$.

• Ściana $ACS$ oparta na krawędzi $AC$: Odcinek $MF$ jest symetralną boku $AC$ trójkąta (równoległą do $BC$), a jego długość to połowa boku $BC$, czyli $|MF| = 4$ (wynika to z podobieństwa trójkątów $MFA$ i $BCA$). Znamy wysokość bryły $|SM| = 12$. Tangens szukanego kąta $\alpha$: $$\tan(\alpha) = \frac{|SM|}{|MF|} = \frac{12}{4} = 3$$
• Ściana $BCS$ oparta na krawędzi $BC$: Analogicznie, rzut wysokości tej ściany to odcinek łączący $M$ ze środkiem krawędzi $BC$. Ma on długość połowy boku $AC$, czyli $3$. Tangens drugiego kąta $\beta$: $$\tan(\beta) = \frac{12}{3} = 4$$