Kombinatoryka i prawdopodobieństwo

Treść zadania maturalnego

Ze zbioru ośmiu liczb $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez 3. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Rozwiązanie

Wnioski o podzielności

Iloczyn trzech liczb całkowitych jest podzielny przez 3, gdy co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 3. W zbiorze $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ znajdują się dokładnie dwie liczby podzielne przez 3: $3$ oraz $6$.

Analiza struktury ciągu zgodnie z warunkami zadania

Niech wylosowane liczby utworzą ciąg definiowany jako $(a_1, a_2, \dots, a_8)$. Zgodnie z obostrzeniami zadania, każda elementarna "trójka" (tzn. dowolny podciąg trzech kolejnych wyrazów, np. $(a_3, a_4, a_5)$) musi zawierać element wyróżniony – liczbę ze zbioru $\{3, 6\}$. W jaki sposób można to osiągnąć? Bądźmy optymalni jak to jest tylko możliwe tj. zacznijmy od umieszczenia jednej z liczb wyróżnionych na trzeciej pozycji, a drugą w odległości trzech elementów w prawo. Wtedy i pierwsza "trójka" zawiera liczbę podzielną przez 3 i kolejna liczba wyróżniona znajduje się na najdalszej pozycji z możliwych. I to wystarczy. Okazuje się, że jest to jedyna strukturalnie poprawna możliwość.

Ostatecznie, jedną z liczb wyróżnionych należy umieścić na trzeciej pozycji, a drugą na szóstej. Rozmieszczone liczby wyróżnione należy jeszcze między sobą permutować, podobnie jak elementy na pozostałych miejscach.

Oblicz ile możliwych ciągów można utworzyć, gdyby losowanie obejmowało 11 liczb? Patrz: Kalkulator Prawdopodobieństwa

Obliczenia kombinatoryczne

Przestrzeń zdarzeń elementarnych: $|\Omega| = 8!$

Liczba zdarzeń sprzyjających: mamy 2 liczby wyróżnione, które wstawiamy na $2$ ustalone miejsca i robimy to na $2!$ sposobów, a pozostałe $6$ liczb rozmieszczamy na pozostałych $6$ miejscach na $6!$ sposobów. Wobec tego z reguły mnożenia mamy $|A| = 2 \cdot 6!$

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2 \cdot 6!}{8!} = \frac{2 \cdot 6!}{6! \cdot 7 \cdot 8} = \frac{2}{56} = \frac{1}{28}$$

Rozwiązanie egzaminacyjne

Pokaż rozwiązanie egzaminacyjne krok po kroku

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych dla losowania 8 liczb i ustawienia ich w ciąg wynosi:

$$|\Omega| = 8!$$

Zdarzenia sprzyjające

W danym zbiorze występują dwie liczby podzielne przez 3: $3$ i $6$. Aby warunek zadania był spełniony, trzecim i szóstym wyrazem ciągu musi być liczba podzielna przez 3. To jedyna strukturalna możliwość. Te dwa elementy można rozmieścić na $2!$ sposobów, a pozostałe na $6!$ sposobów. Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$ wynosi:

$$|A| = 2 \cdot 6!$$

Zastosowanie prawdopodobieństwa klasycznego i wynik

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia $A$:

$$P(A) =\frac{|A|}{|\Omega|} =\frac{2 \cdot 6!}{8!} = \frac{2 \cdot 6!}{6! \cdot 7 \cdot 8} = \frac{2}{56} = \frac{1}{28}$$

Odpowiedź: $P(A) = \frac{1}{28}$.

Generalizacja prawdopodobieństwa

Zauważ, że powyższe dedukcje były relatywnie proste, ponieważ $N=8$ jest liczbą podzielną przez 3 z resztą 2. Jeśli zwiększylibyśmy pulę do np. 20 liczb, dedukcja stałaby się niezwykle żmudna.

Wypróbuj kalkulator prawdopodobieństwa dla zmieniającego się parametru $N$

Kalkulator Prawdopodobieństwa

Modyfikuj wielkość puli losującej $N$
Konfiguracja parametrów
8

Liczba elementów wyróżnionych

Liczba elementów podzielnych przez 3 w zbiorze $\{1...N\}$:
$M = \lfloor N/3 \rfloor = $ 2

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych

Liczba wszystkich permutacji zbioru ($N!$):
40 320

Liczba zdarzeń sprzyjających $A$

Poprawne szablony miejsc: $C =$ 1
Zliczone stany sprzyjające ($C \cdot M! \cdot (N-M)!$)
1 440

Obliczone Prawdopodobieństwo

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$
$$P(A) = \frac{1}{28} \approx 3.571429\%$$

Wizualizacja układów strukturalnych ($C$ = 1) Limit: 60 wyrysowań

- elementy podzielne przez 3 ($M$). - pozostałe elementy.

Inteligentny Nauczyciel AI

Nie jesteś pewien, co oznaczają wyliczone przed chwilą wartości? Poproś o pomoc model językowy Gemini, który przeanalizuje obecny stan kalkulatora DP.

Historia Prawdopodobieństwa

Czy wiesz, że rachunek prawdopodobieństwa, który dziś jest fundamentem sztucznej inteligencji, statystyki i systemów ubezpieczeń, przez wieki w ogóle nie był uważany za "prawdziwą" matematykę? Wynikało to z faktu, że klasyczna tradycja matematyczna opierała się na absolutnej pewności (jak geometria czy algebra), a losowość traktowano jako niepoznawalny chaos, niemożliwy do ujęcia w ramy naukowe.

Początki w jaskini hazardu
Pierwsze matematyczne rozważania na temat szans wygranej spisał Girolamo Cardano w XVI wieku w dziele "Księga o grach losowych" (Liber de ludo aleae). Cardano był wybitnym uczonym, lekarzem, ale również nałogowym hazardzistą. Obserwując kości zauważył, że choć pojedynczy rzut jest nieprzewidywalny, to zbiór wielokrotnych rzutów podlega ścisłym, żelaznym regułom proporcji.

Listy, które zmieniły świat (1654)
Prawdziwy przełom matematyczny (i społeczny) nastąpił jednak dzięki problemowi zgłoszonemu przez arystokratę, Kawalera de Méré. Zapytał on znajomego matematyka, w jaki sposób sprawiedliwie podzielić stawkę w grze losowej, która została niespodziewanie przerwana. Problem ten wspólnie rozwiązali w legendarnej już serii listów Blaise Pascal oraz Pierre de Fermat. Ich korespondencja położyła teoretyczne fundamenty pod pojęcie wartości oczekiwanej.

Ciekawostka pedagogiczna i rygor
Mimo burzliwego rozwoju w XVII i XVIII wieku, probabilistyka jeszcze przez długi czas była traktowana przez uniwersytety nieco po macoszemu, często wplatana między zagadki rozrywkowe. Pełen rygor matematyczny, oparty na zaawansowanej teorii miary i aksjomatach, wprowadził dopiero w 1933 roku wybitny matematyk Andriej Kołmogorow. To dzięki jego pracom prawdopodobieństwo zyskało miano pełnoprawnego, nienaruszalnego działu matematyki wyższej.