Kolejne klasyczne zagadnienie z geometrii przestrzennej, które wymaga precyzyjnego umiejscowienia spodka wysokości. Tym razem przyjrzymy się sytuacji, w której wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do podstawy pod tym samym kątem.
Zadanie 5.86. Matematyka Rozszerzona Klasa 4 Oficyna Edukacyjna
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości $|BC|=6$ i $|AC|=8$. Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos\alpha = \frac{8}{17}$. Oblicz:
a) wysokość ostrosłupa,
b) długości krawędzi bocznych.
W pierwszej i dalszej kolejności spójrz na interaktywny model 3D (możesz go obracać i powiększać).
Etap 1: Lokalizacja spodka wysokości ostrosłupa
Aby zlokalizować spodek wysokości bryły (oznaczmy go jako punkt $M$), musimy zastanowić się, co geometrycznie oznacza fakt, że każda ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem $\alpha$.
Kąt dwuścienny między podstawą ostrosłupa, a jego ścianą boczną
Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy to kąt dwuścienny, który wskażemy z twierdzenia o trzech prostych w przestrzeni 3D. Przeanalizujmy to na przykładzie ściany bocznej i trójkąta $BCS$.
Gdzie są te trzy proste?
- Prosta przechodząca przez punkty $S$ i $E$ przecina płaszczyznę $ABC$ w punkcie $E$.
- Rzut prostokątny prostej $SE$ na płaszczyznę $ABC$ to druga prosta. Na tej prostej znajduje się kluczowy odcinek, odcinek $ME$.
- Trzecia prosta to ta pokrywająca się z krawędzią $BC$, na której leży punkt $E$.
Jeśli punkt $E$ to spodek wysokości $\Delta BCS$, to z twierdzenia o trzech prostych wynika, że skoro $SE \perp BC$, to prosta $ME$ jest również prostopadła do $BC$. Zatem kąt dwuścienny, dla którego znamy wartość funkcji trygonometrycznej, to kąt ostry między odcinkami $SE$ i $ME$ ($\sphericalangle SEM$).
Innymi słowy, kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt ostry między wysokością ściany bocznej, a odcinkiem między spodkiem wysokości, a środkiem okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.
Analogiczna sytuacja zachodzi dla pozostałych ścian bocznych i podstawy. Na rysunku pozostałe kąty dwuścienne to $\sphericalangle SFM$ i $\sphericalangle SGM$.
Spójrzmy na trzy trójkąty prostokątne, z wnętrza ostrosłupa, o wspólnej krawędzi $MS$: $\Delta EMS$, $\Delta FMS$ oraz $\Delta GMS$ (patrz: Rysunek 1).
Co wiemy o tych trójkątach?
- Mają wspólną przyprostokątną $MS$, która jest wysokością bryły.
- Każdy z trójkątów posiada kąt ostry $\alpha$ (wynika to bezpośrednio z warunków zadania: $\sphericalangle MES = \sphericalangle MFS = \sphericalangle MGS = \alpha$). Tym samym drugi kąt ostry w każdym z tych trójkątów ma miarę $90^\circ - \alpha$.
Na mocy przystawania trójkątów, z cechy KBK (Kąt - $\alpha$, Bok - krawędź $SM$, Kąt - $90^\circ - \alpha$) wynika, że trójkąty te są przystające (Rysunek 1). Konsekwencją tego przystawania jest bezwzględna równość odpowiadających przyprostokątnych:
$$|EM| = |FM| = |GM|$$Podsumujmy. Wykazaliśmy, że punkt $M$ znajdujący się wewnątrz trójkąta $ABC$, leży w tej samej odległości od wszystkich trzech boków. W geometrii płaskiej istnieje tylko jeden punkt o takiej własności. Jest nim środek okręgu wpisanego w podstawę.
Mając tę wiedzę, obliczenie długości promienia okręgu wpisanego jest już czystą formalnością. Podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a = 6$, $b = 8$. Z twierdzenia Pitagorasa łatwo obliczamy, że przeciwprostokątna $c = 10$. Promień okręgu wpisanego $r$ w trójkąt prostokątny wyraża się wzorem:
$$r = \frac{a + b - c}{2}$$ $$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$Otrzymujemy zatem odległość spodka wysokości od każdego boku: $|EM| = |MF| = |GM| = r = 2$.
Etap 2: Obliczenie wysokości ostrosłupa ($MS$)
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość ostrosłupa $H$ (odcinek $SM$), odcinek $r$ (np. $MF$) oraz wysokość ściany bocznej $h_b$ (odcinek $SF$). Znamy cosinus kąta nachylenia $\alpha$:
$$\cos\alpha = \frac{8}{17}$$ $$\cos\alpha = \frac{r}{h_b} \implies \frac{2}{h_b} = \frac{8}{17}$$ $$8 \cdot h_b = 34 \implies h_b = \frac{17}{4}$$Mając promień i wysokość ściany bocznej, obliczamy wysokość bryły $H$ (czyli $|SM|$) z twierdzenia Pitagorasa:
$$H^2 + r^2 = h_b^2$$ $$H^2 + 2^2 = \left(\frac{17}{4}\right)^2$$ $$H^2 + 4 = \frac{289}{16} \implies H^2 = \frac{289}{16} - \frac{64}{16} = \frac{225}{16}$$ $$H = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$$Etap 3: Obliczenie długości krawędzi bocznych
Aby wyznaczyć długości krawędzi bocznych ($|SA|, |SB|, |SC|$), musimy najpierw określić odległości spodka wysokości $M$ od każdego z wierzchołków podstawy.
1. Krawędź $|SC|$:
Punkt $M$, $G$, $C$ i $G$ tworzą kwadrat o boku $r=2$. Odległość $|CM|$ to przekątna tego kwadratu, czyli $|CM| = r\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Długość krawędzi $|SC|$ obliczamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $SMC$:
2. Krawędź $|SA|$:
Z geometrycznych własności okręgu wpisanego wynika, że skoro odległość punktu styczności $E$ od wierzchołka z kątem prostym wynosi $r=2$ to odległość wierzchołka $A$ od punktu $E$ wynosi $|CA|$ $-$ $r$. Czyli, $8 - 2 = 6$.
Odległość $|AM|$ wyliczamy ze wzoru na przeciwprostokątną zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa: $|AM| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.
Teraz obliczamy długość krawędzi $|SA|$:
3. Krawędź $|SB|$:
Dla drugiej przyprostokątnej (o długości 6), odległość punktu $G$ od wierzchołka $B$ wynosi $6 - 2 = 4$.
Odległość $|BM| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.
Obliczamy długość ostatniej krawędzi $|SB|$:
Podsumowanie: Długości krawędzi bocznych w badanym ostrosłupie są różne i wynoszą odpowiednio: $\frac{\sqrt{353}}{4}$, $\frac{\sqrt{545}}{4}$ oraz $\frac{\sqrt{865}}{4}$. Na tej podstawie mamy informacje, że ostrosłup podstawie trójkąta prostokątnego o równonachylonych ścianach nie jest ostrosłupem prostym. A czy istnieje ostrosłup prosty o równonachylonych ścianach?
Zrozumieć stereometrię i jej definicje
Stereometria pełna jest drobnych "haczyków" definicyjnych. Zobacz, jak wyglądają moje indywidualne zajęcia przez internet i przestań tracić punkty na maturze za błędne założenia.
Umów korepetycje z matematyki online